Главная

Как решать задачу ЕГЭ № 13 на показательные и логарифмические уравнения | 1С:Репетитор

Что нужно знать о показательных и логарифмических уравнениях для решения задач ЕГЭ по математике?

Во-первых , задание № 13 варианта КИМ ЕГЭ пусть нечасто, но все же иногда представляет собой именно такое уравнение, которое нужно не просто решить, но и (аналогично заданию по тригонометрии) выбрать корни уравнения, удовлетворяющие какому-либо условию.

Так, один из вариантов 2017 года включал следующее задание:

а) Ре­ши­те урав­не­ние 8 x – 7 . 4 x – 2 x +4 + 112 = 0.

б) Ука­жи­те корни этого уравнения, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .

Ответ: а) 2; log 2 7 и б) log 2 7.

В другом варианте было такое задание:

а) Ре­ши­те урав­не­ние 6log 8 2 x – 5log 8 x + 1 = 0

б) Най­ди­те все корни этого уравнения, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .

Ответ: а) 2 и 2√2 ; б) 2.

Встречалось и такое:

а) Ре­ши­те урав­не­ние 2log 3 2 (2cos x ) – 5log 3 (2cos x ) + 2 = 0.

б) Най­ди­те все корни этого уравнения, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку [π; 5π/2].

Ответ: а) {π/6 + 2πk; -π/6 + 2πk, k∊Z} и б) 11π/6; 13π/6.

Во-вторых , изучение методов решения показательных и логарифмических уравнений является хорошей , так как в основных методах решения и уравнений, и неравенств фактически используются одни и те же математические идеи.

Основные методы решения показательных и логарифмических уравнений несложно запомнить, их всего пять: сведение к простейшему уравнению, использование равносильных переходов, введение новых неизвестных, логарифмирование и разложение на множители. Отдельно стоит метод использования свойств показательной, логарифмической и других функций при решении задач: иногда ключом к решению уравнения является область определения, область значений, неотрицательность, ограниченность, четность входящих в него функций.

Как правило, в задаче № 13 встречаются уравнения, требующие применения перечисленных выше пяти основных методов. Каждый из этих методов имеет свои особенности, которые необходимо знать, так как именно их незнание приводит к ошибкам при решении задач.

Какие типичные ошибки совершают экзаменуемые?

Нередко при решении уравнений, содержащих показательно-степенную функцию, школьники забывают рассмотреть один из случаев выполнения равенства. Как известно, уравнения такого вида равносильны совокупности двух систем условий (см. ниже), речь идет о случае, когда a(x ) = 1

Данная ошибка связана с тем, что решая уравнение экзаменуемый формально использует определение показательной функции (y = ax , a>0, a ≠ 1): при а ≤ 0 показательная функция действительно не определена,

А вот при а = 1 определена, но не является показательной, так как единица в любой действительной степени тождественно равна самой себе. А значит если в рассматриваемом уравнении при а (x ) = 1 возникает верное числовое равенство, то соответствующие значения переменной будут корнями уравнения.

Еще одна ошибка – применение свойств логарифмов без учета области допустимых значений. Например, хорошо знакомое многим свойство «логарифм произведения равен сумме логарифмов», оказывается, имеет обобщение:
log a (f (x )g (x )) = log a │f (x )│ + log a │g(x )│, при f (x )g (x ) > 0, a > 0, a ≠ 1

Действительно, для того, чтобы было определено выражение в левой части этого равенства, достаточно, чтобы произведение функций f и g было положительным, но сами функции при этом могут быть как одновременно больше, так и одновременно меньше нуля, поэтому при применении данного свойства необходимо использовать понятие модуля.

И таких примеров можно привести немало. Поэтому для эффективного освоения методов решения показательных и логарифмических уравнений лучше всего воспользоваться услугами , который сумеет рассказать о подобных «подводных камнях» на примерах решения соответствующих экзаменационных задач.

Регулярно тренируйтесь в решении задач

Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно .
Вы можете:

Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.

Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.

Здесь ключевые фразы, чтобы поисковые роботы лучше находили наши советы:
Как решать задание 13 в экзамене ЕГЭ, задачи на логарифмы, ким ЕГЭ 2017, подготовка к ЕГЭ профиль математика, Математика профиль, решение уравнений и логарифмов, решение задач на показательные уравнения ЕГЭ, вычисление свойств логарифмов, показательно-степенная функция, задачи по математике профильного уровня, применение свойств логарифмов, решение задач на корни, задачи ЕГЭ 2017 по показательным уравнениям, подготовка к егэ выпускникам 11 класса в 2018 году, поступающим в технический вуз.

В 13 задании профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо решить уравнение, но уже повышенного уровня сложности, так как с 13 задания начинаются задания бывшего уровня С, и данное задание можно назвать С1. Перейдем к рассмотрению примеров типовых заданий.

Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант2018)

а) Решите уравнение cos2x = 1-cos(п/2-x)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5п/2;-п].

Алгоритм решения:

1. t
2. Делаем обратную замену и решаем простейшие тригонометрические уравнения.

1. Строим числовую ось.
2. Наносим на нее корни.
3. Отмечаем концы отрезка.
4. Выбираем те значения, которые лежат внутри промежутка.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Преобразуем правую часть равенства, используя формулу приведения cos(π/ 2−x )=sinx . Имеем:

сos2x = 1 – sin x .

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу косинуса двойного аргумента, с использованием синуса:

cos(2х)=1−2sin 2 х

Получаем такое уравнение: 1−sin 2 x =1− sinx

Теперь в уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция sinx .

2. Вводим замену: t = sinx . Решаем получившееся квадратное уравнение:

1−2t 2 =1−t,

−2t 2 +t =0,

t (−2t +1)=0,

t = 0 или -2t + 1 = 0 ,

t 1 = 0 t 2 = 1/2.

3. Делаем обратную замену:

sin x = 0 или sin x = ½

Решаем эти уравнения:

sin x =0↔x =πn, nЄZ

sin(x )=1/2↔x = (-1) n ∙(π/6) + πn, nЄZ .

Следовательно, получаем два семейства решений.

1. В предыдущем пункте получено два семейства, в каждом из которых бесконечно много решений. Необходимо выяснить, какие из них, находятся в заданном промежутке. Для этого строим числовую прямую.

2. Наносим на нее корни обоих семейств, пометив их зеленым цветом (первого) и синим (второго).

3. Красным цветом помечаем концы промежутка.

4. В указанном промежутке расположены три корня что три корня: −2π ;−11π/ 6 и −7π/ 6.

а) πn, nЄZ; (-1) n ∙(π/6) + πn, nЄZ

б) −2π ;−11π 6;−7π 6

Второй вариант задания (из Ященко, №1)

Алгоритм решения:

1. Заменяем эту функцию переменной t и решаем получившееся квадратное уравнение.
2. Делаем обратную замену и решаем простейшие показательные, потом тригонометрические уравнения.

1. Строим координатную плоскость и окружность единичного радиуса на ней.
2. Отмечаем точки, являющиеся концами отрезка.
3. Выбираем те значения, которые лежат внутри отрезка.
4. Записываем ответ.

Решение:

1. Вводим замену t = 4 cos х. тогда уравнение примет вид:

Решаем квадратное уравнение с помощью формул дискриминанта и корней:

D=b 2 – c = 81 – 4∙4∙2 =49,

t 1 = (9 – 7)/8= ¼, t 2 = (9+7)/8=2.

3. Возвращаемся к переменной х:

1. Строим координатную плоскость и окружность единичного радиуса на ней.

2. Отмечаем точки, являющиеся концами отрезка.

3. Выбираем те значения, которые лежат внутри отрезка..

Это корни . Их два.

а)

б)

Третий вариант задания (из Ященко, № 6)

Алгоритм решения:

1. При помощи тригонометрических формул приводим уравнение к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию.
2. Заменяем эту функцию переменной t и решаем получившееся квадратное уравнение.
3. Делаем обратную замену и решаем простейшие показательные, а затем тригонометрические уравнения.

1. Решаем неравенства для каждого случая.
2. Записываем ответ.

Решение:

1. По формулам приведения .

2. Тогда данное уравнение примет вид:

3. Вводим замену . Получаем:

Решаем обычное квадратное уравнение с помощью формул дискриминанта и корней: