Вычисление главных напряжений при прямом поперечном изгибе. Напряжение при изгибе и расчет балок на прочность. Стат момент площади, заключенной между уровнемYи наружным краем балки

В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки строго говоря не остаются плоскими. Однако при (где h - высота поперечного сечения, l – длина балки) оказывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плоских сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точностью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряжений s применяют ту же формулу (6.4).

Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напряжений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной dх (рис. 6.6 а ).

Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии z от нейтральной оси, разделим элемент на две части (рис. 6.6 в ) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b . При этом с учетом закона парности касательных напряжений, получим, что касательные напряжения в поперечном сечении равны касательным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 6.6 б ). С учетом данного обстоятельства и из допущения о том, что касательные напряжения по площади b ×dx распределены равномерно, используя условие åx = 0, получим:

N * - N * - d N * + t× b ×dx = 0 ,

. (6.5)

где N * - равнодействующая нормальных сил s×dA в левом поперечном сечении

элемента dx в пределах площади A * (рис. 6.6 г ):

. (6.6)

С учетом (6.4) последнее выражение можно представить в виде

, (6.7)

где - статический момент части поперечного сечения, расположенной выше координаты y (на рис. 6.6 б эта область заштрихована).

Следовательно, (6.7) можно переписать в виде , откуда

. (6.8)

В результате совместного рассмотрения (6.7) и (6.8) получим

,

или окончательно

. (6.9)

Формула (6.9) носит имя русского ученого Д.И. Журавского.

Для исследования напряженного состояния в произвольной точке балки, испытывающей поперечный изгиб, выделим из состава балки вокруг исследуемой точки элементарную призму (рис. 6.6 г ), таким образом, чтобы вертикальная площадка являлась частью поперечного сечения балки, а наклонная площадка составляла произвольный угол a относительно горизонта. Принимаем, что выделенный элемент имеет следующие размеры по координатным осям: по продольно оси – dx , т.е. по оси x ; по вертикальной оси – dz , т.е. по оси z ; по оси y - равный ширине балки.

Так как вертикальная площадка выделенного элемента принадлежит поперечному сечению балки, испытывающему поперечный изгиб, то нормальные напряжения s на этой площадке определяются по формуле (6.4), а касательные напряжения t – по формуле Д.И. Журавского (6.9). С учетом закона парности касательных напряжений легко установить, что касательные напряжения на горизонтальной площадке также равны t . Нормальные же напряжения на этой площадке равны нулю, согласно уже известной нам гипотезе теории изгиба о том, что продольные слои не оказывают давления друг на друга.

Обозначим величины нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке через s a и t a , соответственно. Принимая площадь наклонной площадки dA , для вертикальной и горизонтальной площадок будем иметь dA sin a и dA cos a соответственно.

Составляя уравнения равновесия для элементарной вырезанной призмы (рис. 6.6 г ), получим:

,

откуда будем иметь:

Следовательно, окончательные выражения напряжений на наклонной площадке принимают вид:

Определим ориентацию площадки, т.е. значение a = a 0 , при котором напряжение s a принимает экстремальное значение. Согласно правилу определения экстремумов функций из математического анализа, возьмем производную функции s a от a и приравняем ее нулю:

.

Предполагая a = a 0 , получим: .

Откуда окончательно будем иметь:
.

Согласно последнему выражению, экстремальные напряжения возникают на двух взаимно перпендикулярных площадках, называемых главными , а сами напряжения - главными напряжениями .

Сопоставляя выражения t a и , имеем: , откуда и следует, что касательные напряжения на главных площадках всегда равны нулю.

В заключение с учетом известных тригонометрических тождеств:

и формулы , определим главные напряжения, выражая из через s и t.

Мы видели, что при чистом изгибе в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные напряжения. Соответствующие им внутренние силы приводятся к изгибающему моменту в сечении. В случае поперечного изгиба в сечении стержня возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила Эта сила представляет собой равнодействующую элементарных распределенных сил, лежащих в плоскости сечения (рис. 4.23). Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Возникновение касательных напряжений сопровождается появлением угловых деформаций . Поэтому, кроме основных смещений, свойственных чистому изгибу, каждая элементарная площадка сечения получает еще некоторые дополнительные угловые смещения, обусловленные сдвигом. Касательные напряжения распределены по сечению неравномерно, поэтому неравномерно будут распределены и угловые смещения. Это значит, что при поперечном изгибе в отличие от чистого изпб а поперечные сечешя не остаются плоскими. На рис. 4.24 показана типичная картина искривления поперечных сечений.

Однако на значение нормальных напряжений искажение плоскости поперечных сечений заметным образом не сказывается. В частности, если поперечная сила не меняется по длине стержня, формулы (4.6) и (4.8), выведенные для случая чистого изгиба, будут давать совершенно точные результаты и в случае поперечного изгиба. Действительно, при искривление всех сечений происходит одинаково (рис. 4.25). Поэтому при взаимном повороте двух смежных сечений удлинение продольного волокна АВ будет одним и тем же, независимо от того, осталось сечение плоским или нет

При поперечной силе, изменяющейся вдоль оси стержня, формулы чистого изгиба дают для а некоторую погрешность. Путем несложного анализа можно показать, что эта погрешность имеет порядок по сравнению с единицей, где - размер поперечного сечения в плоскости изгиба; - длина стержня. По определению, данному в § В2, характерной особенностью стержня является то, что размеры его поперечного сечения много меньше длины. Следовательно, отношение относительно мало и соответственно малой оказывается указанная погрешность.

Все сказанное дает основание принять гипотезу плоских сечений. Будем в дальнейшем считать, что совокупность точек, образующих плоскость поперечного сечения до изгиба, образует и после изгиба плоскость, повернутую в пространстве. Это предположение приемлемо в той мере, в какой угловые деформации 7 в сечении можно считать существенно меньшими, чем угловые перемещения, обусловленные изменением кривизны.

Особенностью поперечного изгиба является также наличие нормальных напряжений, возникающих в продольных сечениях бруса, т.е. напряжений между слоями. Эти напряжения возникают только при переменной поперечной силе и весьма малы.

Таким образом, в пределах указанных допущений формулы (4.6) и (4.8), выведенные для определения нормальных напряжений, применимы не только при чистом изгибе, но и при поперечном. В такой же мере применима и формула (4.5), дающая зависимость кривизны стержня от изгибающего момента.

Теперь определим приближенно касательные напряжения при поперечном изгибе. Вычислить эти напряжения проще всего через парные им касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня. Выделим из бруса элемент длиной (рис. 4.26, а). При поперечном изгибе моменты, возникающие в левом и правом сечениях элемента, не одинаковы и отличаются на Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии у от нейтрального слоя (рис. 4.26, б), разделим элемент на две части и рассмотрим условия равновесия верхней части. Равнодействующая нормальных сил в левом сечении в пределах заштрихованной площади равна, очевидно,

или, согласно формуле (4.6),

где через обозначена в отличие от у текущая ордината площадки (см. рис. 4.26, б). Полученный интеграл представляет собой статический момент относительно оси х части площади, расположенной выше продольного сечения (выше уровня Обозначим этот статический момент через Тогда

В правом сечении нормальная сила будет другой:

Разность этих сил

должна уравновешиваться касательными силами, возникающими в продольном сечении элемента (см. рис. 4.26, б и в).

В качестве первого приближения примем, что касательные напряжения распределены по ширине сечения равномерно. Тогда

Полученная формула носит название формулы Журавского, по имени русского ученого прошлого века, который впервые провел общее исследование касательных напряжений при поперечном изгибе.

Выражение (4.12) позволяет вычислить касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня. Напряжения, образующиеся в поперечных сечениях стержня равны им, как парные. Зависимость от у в сечении определяется через статический момент 5. При подходе к верхней кромке сечения площадь его заштрихованной части (см. рис. 4.26, б) уменьшается до нуля. Здесь, следовательно, При подходе к нижней кромке заштрихованная часть охватывает все сечение. Так как ось центральная, то и здесь Поэтому касательные напряжения, как это следует из формулы (4.12), в верхних и нижних точках сечения равны нулю.

Для стержня прямоугольного сечения со сторонами и (рис. 4.27, а) имеем

Следовательно,

и эпюра касательных напряжений по высоте сечения изображается квадратной параболой. Наибольшее напряжение имеет место при

Для стержня круглого сечения (рис. 4.27, б) путем несложной операции интегрирования можно найти

Кроме того,

Для стержня, имеющего сечение в форме треугольника с основанием с и высотой (рис. 4.27, в),

Максимальное напряжение имеет место на расстоянии от нейтральной оси:

В двух последних примерах наглядно проявляется приближенный характер производимых операций. Это видно из того, что в поперечном сечении касательные напряжения имеют составляющие не только по оси у, но и по оси х. Действительно, примем, как это делали выше, что для точек А, расположенных у контура сечения (рис. 4.28), касательное напряжение направлено по оси у. Разложим вектор на две составляющие - по нормали к контуру и по касательной По условиям нагружения внешняя поверхность стержня свободна от касательных сил. Поэтому напряжения, парные отсутствуют. Следовательно, а полное касательное напряжение вблизи контура направлено по касательной к контуру, и предположение о том, что направлено по оси у, оказывается неверным. Тем самым обнаруживается наличие составляющих по оси х. Для определения этих составляющих следует прибегнуть к более сложным приемам, нежели

рассмотренные ранее. Методами теории упругости можно показать, что в большинстве случаев составляющие по оси х играют существенно меньшую роль, нежели по оси у.

Из рассмотренных выше примеров можно сделать общий вывод, что зона максимальных касательных напряжений расположена приблизительно в средней части высоты сечения, а для нетонкостенных сечений имеет значение порядка

Можно сопоставить абсолютные величины максимальных нормальных и максимальных касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях стержня. Например, для консоли прямоугольного сечения (рис. 4.29) имеем

Это значит, что максимальные касательные напряжения в поперечном сечении относятся к максимальным нормальным напряжениям примерно как высота сечения к длине стержня, т.е. касательные напряжения существенно меньше нормальных. Указанная оценка, с немногочисленными исключениями, сохраняется для всех нетонкостенных стержней. Что же касается тонкостенных стержней, то это вопрос особый.

В связи с малостью ттах расчет на прочность при поперечном изгибе выполняют только по нормальным напряжениям, как и при чистом изгибе. Касательные напряжения во внимание не принимают. Это тем более естественно, что в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной линии, т.е. в наиболее опасных, касательные напряжения в поперечном сечении равны нулю.

Рассматривая качественную сторону явления, следует иметь в виду, что касательные напряжения в поперечных сечениях и парные им напряжения в продольных сечениях, несмотря на свою малость, могут в некоторых случаях существенно повлиять на оценку прочности стержня. Например при поперечном изгибе короткого деревянного бруса возможно разрушение не по поперечному сечению в заделке, а скалывание по продольной плоскости, близкой к нейтральному слою, т.е. там, где касательные напряжения максимальны (рис. 4.30).

Касательные напряжения в продольных сечениях являются выражением существующей связи между слоями стержня при поперечном изгибе. Если эта связь в некоторых слоях нарушена, характер изгиба стержня меняется. Например, в стержне, составленном из листов (рис. 4.31, а), каждый лист при отсутствии сил трения изгибается самостоятельно. Внешняя сила, приходящаяся на лист, равна а наибольшее нормальное напряжение в поперечном сечении листа равно

В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникают не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки, строго говоря, не остаются плоскими. Однако при (где h - высота поперечного сечения, l - длина балки) ока­зывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плос­ких сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точно­стью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряже­ний применяют ту же формулу (5).

Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напря­жений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной (рис. 6.28,а ).

Рис. 6.28

Продольным горизонтальным сечением, проведенным на рас­стоянии y от нейтральной оси, разделим элемент на две части (рис. 6.28,в ) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b . При этом с учетом закона парности каса­тельных напряжений, получим, что касательные напряжения в по­перечном сечении равны касательным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 6.28,б ). С учетом данного обстоятель­ства и из допущения о том, что касательные напряжения по пло­щади распределены равномерно, используя условие , получим:

где - равнодействующая нормальных сил в левом попереч­ном сечении элемента в пределах заштрихованной площади :

С учетом (5) последнее выражение можно представить в виде

где - статический момент части поперечного сечения, расположенной выше координаты y (на рис. 6.28,б эта область за­штрихована). Следовательно, (15) можно переписать в виде

В результате совместного рассмотрения (13) и (16) получим

или окончательно

Полученная формула (17) носит имя русского ученого Д.И. Журавского.

Условие прочности по касательным напряжениям:

где -максимальное значение поперечной силы в сечении; - допускаемое касательное напряжение, оно, как правило, равно половине .

Для исследования напряженного состояния в произвольной точке балки, испытывающей поперечный изгиб, выделим из сос­тава балки вокруг исследуемой точки элементарную призму (рис. 6.28,г ), таким образом, чтобы вертикальная площадка явля­лась частью поперечного сечения балки, а наклонная площадка составляла произвольный угол относительно горизонта. Прини­маем, что выделенный элемент имеет следующие размеры по координатным осям: по продольно оси - dz , т.е. по оси z ; по вер­тикальной оси - dy , т.е. по оси у ; по оси х - равный ширине балки.

Так как вертикальная площадка выделенного элемента принад­лежит поперечному сечению балки, испытывающему поперечный изгиб, то нормальные напряжения на этой площадке определя­ются по формуле (5), а касательные напряжения - по формуле Д.И. Журавского (17). С учетом закона парности касательных на­пряжений, легко установить, что касательные напряжения на гори­зонтальной площадке также равны . Нормальные же напряжения на этой площадке равны нулю, согласно уже известной нам гипо­тезе теории изгиба о том, что продольные слои не оказывают дав­ления друг на друга.

Обозначим величины нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке через и , соответственно. Принимая площадь наклонной площадки , для вертикальной и горизон­тальной площадок будем иметь и , соответственно.

Составляя уравнения равновесия для элементарной вырезанной призмы (рис. 6.28,г ), получим:

откуда будем иметь:

Следовательно, окончательные выражения напряжений на на­клонной площадке принимают вид:

Определим ориентацию площадки, т.е. значение , при котором напряжение принимает экстремальное значение. Со­гласно правилу определения экстремумов функций из математиче­ского анализа, возьмем производную функции от и прирав­няем ее нулю:

Предполагая , получим:

Откуда окончательно будем иметь:

Согласно последнему выражению, экстремальные напряжения возникают на двух взаимно перпендикулярных площадках, называ­емых главными , а сами напряжения - главными напряже­ниями.

Сопоставляя выражения и , имеем:

откуда и следует, что касательные напряжения на главных пло­щадках всегда равны нулю.

В заключение, с учетом известных тригонометрических тож­деств:

и формулы ,

определим главные напряжения, выражая из через и :

Вырежем из балки в окрестности некоторой точки элементарный параллелепипед 1-2-3-4 (рис. 45.7, а) боковые грани которого 1-2 и 3-4 расположены в поперечных сечениях балки, а боковые грани 2-3 и 1-4 параллельны нейтральному слою. Длина параллелепипеда (в направлении, перпендикулярном к чертежу) равна ширине балки. Напряжения, действующие по граням параллелепипеда, рассмотрены в § 7.7 и 8.7; они показаны на рис. 45.7,б. По граням 1-2 и 3-4 действуют нормальные напряжения а и касательные напряжения , а по граням 2-3 и 1-4 - только касательные напряжения . Направления этих напряжений, показанные на рис. 45.7, б, соответствуют случаю, когда в поперечных сечениях рассматриваемого участка балки действуют положительные изгибающий момент и поперечная сила.

Величины напряжений определяются формулами (17.7) и (28.7).

Передняя и задняя грани элементарного параллелепипеда совпадают с боковыми поверхностями балки, свободными от нагрузки, а потому по этим граням напряжения равны нулю. Следовательно, параллелепипед находится в условиях плоского напряженного состояния.

В площадках, наклоненных под различными углами к боковым граням элементарного параллелепипеда, действуют нормальные и касательные напряжения, величины которых можно определить по формулам (6.3) и (7.3). Имеются две взаимно перпендикулярные площадки, по которым касательные напряжения равны нулю. Эти площадки, как известно, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие в них, - главными напряжениями (см. § 3.3). В площадках, наклоненных под углами в 45° к главным площадкам, действуют экстремальные касательные напряжения; эти площадки называются площадками сдвига (см § 4.3).

Определение главных нормальных и экстремальных касательных напряжений в общем случае плоского напряженного состояния производится, как известно, по формулам (12.3) и (15.3):

Подставим в эти формулы значения

Здесь - нормальное и касательное напряжения в рассматриваемой точке, действующие по площадке, совпадающей с поперечным сечением балки, и определяемые по формулам (17.7) и (28.7).

Из формулы (32.7) видно, что напряжение отах всегда положительно, a всегда отрицательно. Поэтому в соответствии с правилом, согласно которому напряжение отах следует обозначить а напряжение обозначить Промежуточное главное напряжение возникает в главных площадках, параллельных плоскости чертежа (рис. 45.7).

Угол наклона главных площадок к боковым граням элементарного параллелепипеда можно определить способом, указанным в § 3.3.

Величины главных нормальных и экстремальных касательных напряжений и положения площадок, в которых они действуют, можно определить и с помощью круга Мора (см. § 5.3).

Рассмотрим теперь более подробно напряженное состояние в точках прямоугольного поперечного сечения балки. Предположим, что, изгибающий момент М и поперечная сила Q в этом сечении положительны.

В поперечном сечении в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, касательные напряжения равны нулю, а нормальные напряжения а равны (в точке а на рис. 46.7, а) и (в точке а на рис. 46.7, а). Следовательно, для каждой из этих точек одна из главных площадок совпадает с поперечным сечением балки, а две другие перпендикулярны к поперечному сечению (нормальные напряжения в них равны нулю). В этих точках имеется одноосное напряженное состояние.

На рис. 46.7, а показаны элементарные параллелепипеды, боковые грани которых параллельны двум главным площадкам; третья главная площадка параллельна плоскости чертежа. Экстремальные касательные напряжения в точках а к а определяются по формуле

В поперечном сечении в точках, расположенных на нейтральной оси (точка b на рис. 46.7, а), нормальное напряжение о равно нулю, а касательное напряжение . В этих точках напряженное состояние представляет собой чистый сдвиг с экстремальными касательными напряжениями

Две главные площадки в каждой из этих точек наклонены под углами ±45° к оси балки (см. рис. 46.7, а), а главные напряжении в них .

Третья главная площадка параллельна плоскости чертежа; напряжения в ней равны нулю.

В поперечном сечении в остальных точках напряжения а и отличны от нуля. На разных расстояниях от нейтральной оси соотношения между величинами а и различны, а потому различны и углы наклона главных площадок к оси балки. В каждой из этих точек не равные нулю главные напряжения имеют противоположные знаки, т. е. напряженное состояние представляет собой одновременно растяжение и сжатие по двум взаимно перпендикулярным направлениям.

Определив величины главных напряжений для ряда точек, расположенных в одном поперечном сечении балки на различных расстояниях от нейтральной оси, можно затем по этим величинам построить эпюры главных напряжений. Эти эпюры характеризуют изменение главных напряжений по высоте балки.

Аналогично можно вычислить значения экстремальных касательных напряжений и построить эпюры этих напряжений. На рис. 46.7, б для прямоугольного поперечного сечения балки, в котором действуют положительные изгибающий момент М и поперечная сила Q, показаны эпюры напряжений , возникающих в площадках, совпадающих с поперечным сечением, эпюры главных напряжений и и экстремальных касательных напряжений .

Определим для какой-либо точки балки направление одного из главных напряжений, а затем возьмем на этом направлении вторую точку, достаточно близкую к первой. Найдя направление главного напряжения для второй точки, аналогичным способом отметим третью точку и т. д.

Соединив найденные таким путем точки, получим так называемую траекторию главных напряжений. Через каждую точку проходят две такие траектории, перпендикулярные друг к другу; одна из них представляет собой траекторию главных растягивающих напряжений, а другая - главных сжимающих. Траектории главных растягивающих напряжений образуют одно семейство кривых, а траектории главных сжимающих напряжений - другое семейство. Касательная к траектории в любой ее точке дает направление соответствующего (растягивающего или сжимающего) главного напряжения в этой точке.

На рис. 47.7 показана часть фасада некоторой балки с нанесенными траекториями главных напряжений. Все они пересекают ось балки под углами ±45° и подходят к верхней и нижней граням балки под углами 0 и 90°; это соответствует направлениям главных площадок (и главных напряжений), показанным на рис. 46.7, а.

Продольное усилие

При выводе расчетных формул для определения нормального напряжения, делается следующее предположение: продольная ось не меняет своей длинны при изгибе, продольные линии изгибаются по радиусу. Контуры поперечных сечений плоские до нагружения остаются плоскими и после нагружения; линии контура сечений всюду перпендикулярны продольной оси.

Существует слой, который не меняет своей длинны при изгибе- он называется нейтральным слоем.

При пересечении нейтрального слоя поперечным сечением, получаем нейтральную линию.

При плоском изгибе нейтральный слой оказывается перпендикулярным силовой плоскости и значит нейтральная линия перпендикулярна к силовой линии сечения.

Выберем теперь двумя поперечными сечениями элемент балки длинной dx.

Относительная деформация волокна равна разности между длинами волокон

Рассмотрим волокно a 0 b 0 , принадлежащее нормальному слою, его длина равняется отрезкуdx, после деформации отрезок превращается в дугуa 0 ’b 0 ’=

Волокно нейтрального слоя не меняет своей длины при деформации => dx=, подставляя это выражение в формулу для относительной деформации

по закону Гука, сравнивая эти выражения =>, здесь у- расстояние от нейтральной линии до точки, где определяется это напряжение, подставляя это выражение в выражение для момента:

В случаи поперечного изгиба расчет нормальных напряжений производится по той же формуле, что и для чистого изгиба, поскольку разница в результатах практически нулевая, а возникающее касательное напряжение может достигать больших величин, и определяется при изгибе с помощью формул Журавского.

1. Определение касательного напряжения при поперечном изгибе

При поперечном сечении поперечные усилия Qи изгибающие моменты, возникает не только нормальное, но и касательное напряжение

Вывод формулы для определения касательных напряжений рассмотрим на балке с поперечным сечением

Эти предположения справедливы в том случае, если ширина сечения bзначительно меньше, чемh.

Отмечаем часть элемента балки проведя горизонтальную плоскость mmна расстоянии у от нейтральной линии

На гранях A 1 A 2 m 2 m 1 ,C 1 C 2 n 2 n 1 иA 1 A 2 C 2 C 1 напряжений никаких нет, т.к. эти грани являются частью наружной поверхности балки.

Необходимо вычислить равнодействующую нормальных напряжений распределенных по грани A 1 C 1 m 1 n 1 на элементарную площадкуdF=bd, проведенную параллельно осиzна расстоянииот нее действует нормальная осевая сила

1. Стат момент площади, заключенной между уровнемYи наружным краем балки

Аналогично на грани A 2 C 2 n 2 m 2 равнодействующая нормальных напряжений отбудет равняться:

величина статического момента отсеченной плоскости будет такой же, как и в предыдущем выражении.

В грани n 1 n 2 m 1 m 2 действует нормальное напряжение, поскольку при поперечном изгибе волокна давят друг на друга, но этими напряжениями пренебрегают как несущественными для расчета на прочность.

Кроме того согласно закону парности касательных напряжений, возникают касательные напряжения в перпендикулярном направлении по ЗПКН

Т.к. длина грани n 1 n 2 m 1 m 2 мала, т.е. равнаdx, можно считать, что-равномерно распределены по этой грани.

Условие равновесия параллелепипеда: a 1 a 2 c 2 c 1 n 1 n 2 m 2 m 1

Если разделить полученное равенство на bdx, то:- Формула Журавского,

Которая позволяет определить величину касательного напряжения при поперечном изгибе на любом уровне поперечного сечения