При построении точки по заданным координатам, необходимо помнить, что в соответствии с правилами черчения масштаб по оси Ох уменьшается в 2 раза в сравнении с масштабом по осями Оу и Оz.

1.Построить точкy: А(2; 1; 3) х А = 2; у A = 1; z A = 3

а) обычно в первую очередь строят проекцию точки на плоскость Оху. Отметить точки х A =2 и у A =1 и провести через них прямые, параллельные осям Ох и Оу. Точка их пересечения имеет координаты (2;1; 0) Построена точка A 1 (2;1; 0.)

А(2; 1; 3)

0 у A =1

х A =2 у

A 1 (2;1; 0) 0 у A =1 у

х х A =2 A 1 (2;1; 0)

х

б) далее из точки A 1 (2;1; 0) восстанавливают перпендикуляр к плоскости Оху (проводят прямую, параллельную оси Оz ) и откладывают на ней отрезок, равный трем: z A = 3.

2.Построить точкy: B(3; - 2; 1) х B = 3; у B = -2; Z B = 1

z

у B = - 2

B(3; -2; 1) О у

B 1 (3;-2) х B =3

х

3. Построить точку C(-2; 1; 3 ) zC (-2; 1; 3)

Х А = -2; Y A = 1; Z A = 3

х C = - 2 C 1 (-2;1;0)

у A =1 у

4.Дан куб. А...D 1 , ребро которого равно1 . Начало координат совпадает с точкой В, ребра ВА, ВС и ВВ 1 совпадают с положительными лучами осей координат. Назвать координаты всех остальных вершин куба. Вычислить диагональ куба.

z

АВ = ВС = ВВ 1 ВD 1 = =

В 1 (0;0;1) С 1 (0;1;1) = =

А 1 (1;0;1) D 1 (1;1;1)

В(0;0;0) С(0;1;0) у

А(1;0;0) D(1;1;0)

5.Постройте точки А(1;1;-1) и В(1; -1;1). Пересекает ли отрезок ось координат? плоскость координат? проходит ли отрезок через начало координат? Найдите координаты точек пересечения, если они есть. z Точки лежат в плоскости, перпендикулярной оси Ох.

Отрезок пересекает ось Ох и плоскость хОу в точке

В(1; -1;1)

0(0;0;0)

С(1;0;0)

А(1;1;-1)

6.Найти расстояние между двумя точками: А(1;2;3) и В(-1;1;1).

а) АВ = = = =3

б) С(3;4;0) и D(3; -1;2).

СD = = =

В пространстве для определения координат середины отрезка вводится третья координата.

В (х В; у В;z B)

С ( ; ; )

А(х А; у А; z A)

7.Найти координаты С середины отрезков: а) АВ, если А(3; – 2; – 7), В(11; – 8; 5),

х М = = 7; у М = = - 5; z М = = - 1; С(7; - 5; - 1)

8. Координаты точки А(х;у;z). Напишите координаты точек, симметричных данной относительно:

а) координатных плоскостей

б) координатных прямых

в) начала координат

а) Если точка А 1 симметрична данной относительно координатной плоскости хОу, то разница в
координатах точек будет только в знаке координаты z: А 1 (х;у;-z).

точка А 2 Охz, тогда А 2 (х; -у;z).

точка А 3 симметрична данной относительно плоскости Оуz, тогда А 2 (-х; у;z).

б) Если точка А 4 симметрична данной относительно координатной прямой Ох, то разница в
координатах точек будет только в знаках координат у и z: А 4 (х; -у;-z).

точка А 5 Оу, тогда А 5 (-х; у; -z).

точка А 6 симметрична данной относительно прямой Оz, тогда А 6 (-х; -у; z).

в) Если точка А 7 симметрична данной относительно начала координат, то А 6 (-х; -у; -z).

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

Переход от одной системы координат в другую называется преобразованием системы координат.

Мы будем рассматривать два случая преобразования системы координат, и выведем формулы зависимости между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат. (Методика преобразованием системы координат аналогична преобразованию графиков).

1.Параллельный перенос . В этом случае меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.

Если начало координат переходит в точку 0 1 с координатами 0 1 (х 0 ; у 0), то для точки М(х;у) связь между координатами системы х0у и х 0 0у 0 выражена формулами:

х = х 0 + х"

у = у 0 + у"

Полученные формулы позволяют найти старые координаты по известным новым х" и у" и наоборот.

у М(х;у) М(х"; у")

0 1 (х 0 ; у 0),х"

х 0 х"

2.Поворот осей координат . В этом случае обе оси поворачиваются на один и тот же угол , а начало координат и масштаб остаются неизменными.

М(х;у)

у 1 х 1

Координаты точки М в старой системе М(х;у) и М(х"; у") - в новой. Тогда полярный радиус в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны + и , где - полярный угол в новой системе координат.

По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем:

x = rcos( + ) x = rcos · cos - rsin ·sin

y = rsin(+ ) y = rcos · sin + rsin · cos

Но rcos = х" и rsin = у" , поэтому

x = х"· cos - у"·sin

y = х"· sin + у"· cos

Письменно ответьте на вопросы:

1. Что называется прямоугольной системой координат на плоскости? в пространстве?
2. Какая ось называется осью аппликат? Ординат? Абсцисс?
3. Каково обозначение единичных векторов на осях координат?
4. Что называется ортом?
5. Как вычисляется в прямоугольной системе координат длина отрезка, заданного координатами своих концов?
6. Как вычисляются координаты середины отрезка, заданного координатами своих концов?
7. Что называется полярной системой координат?
8. Какова связь между координатами точки в прямоугольной и полярной системах координат?

Выполните задания:

1. На каком расстоянии от координатных плоскостей находится точка А(1; -2; 3)

2. На каком расстоянии находится точка А(1; -2; 3) от координатных прямых а) Оу; б) Оу; в) Оz;

3. Какому условию удовлетворяют координаты точек пространства, одинаково удаленных:

а) от двух координатных плоскостей Оху и Оуz; АВ

б) от всех трех координатных плоскостей

4. Найдите координаты точки М середины отрезка АВ, А(-2; -4; 1); В(0; -1; 2) и назовите точку, симметричную точки М, относительно а) оси Ох

б) оси Оу

в) оси Оz.

5. Дана точка В(4; - 3; - 4). Найдите координаты оснований перпендикуляров, опущенных из точки на оси координат и координатные плоскости.

6.На оси Оу найти точку, равноудаленную от двух точек А(1; 2; - 1) и В(-2; 3; 1).

7. В плоскости Охz найдите точку, равноудаленную от трех точек А(2; 1; 0); В(-1; 2; 3) и С(0;3;1).

8. Найдите длины сторон треугольника АВС и его площадь, если координаты вершин: А(-2; 0; 1), В(8; - 4; 9), С(-1;2; 3).

9. Найдите координаты проекций точек А(2; -3; 5); В (3;-5; ); С(- ; - ; - ).

10. Даны точки А(1; -1; 0) и В(-3; - 1; 2). Вычислите расстояние от начала координат до данных точек.

ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Все величины, с которыми имеют дело в физике, технике, обыденной жизни разделяют на две группы. Первые полностью характеризуются своим численным значением: температура, длина, масса, площадь, работа. Такие величины называются скалярными.

Другие величины, например, сила, скорость, перемещение, ускорение и т.д. определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Называются такие величины векторными , или векторами. Векторная величина геометрически изображается в виде вектора.

Вектор -это направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий
определенную длину и направление.

Построить следы плоскости, заданной ∆BCD, и определить расстояние от точки А до заданной плоскости методом прямоугольного треугольника (координаты точек А, В, С и D см. в Таблице 1 раздела Задания);

1.2. Пример выполнения задания № 1

Первое задание представляет комплекс задач по темам:

1. Ортогональное проецирование, эпюр Монжа, точка, прямая, плоскость : по известным координатам трех точек B, C, D построить горизонтальную и фронтальную проекции плоскости, заданной ∆BCD ;

2. Следы прямой, следы плоскости, свойства принадлежности прямой плоскости : построить следы плоскости, заданной ∆BCD ;

3. Плоскости общего и частного положения, пересечение прямой и плоскости, перпендикулярность прямой и плоскости, пересечение плоскостей, метод прямоугольного треугольника : определить расстояние от точки А до плоскости ∆BCD .

1.2.1. По известным координатам трех точек B, C, D построим горизонтальную и фронтальную проекции плоскости, заданной ∆BCD (Рисунок 1.1), для чего необходимо построить горизонтальные и фронтальные проекции вершин ∆BCD , а затем одноименные проекции вершин соединить.

Известно, что следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с плоскостью проекций.

У плоскости общего положения 3 следа: горизонтальный, фронтальный и профильный .

Для того чтобы построить следы плоскости, достаточно построить следы (горизонтальный и фронтальный) любых двух прямых, лежащих в этой плоскости, и соединить их между собой. Таким образом, след плоскости (горизонтальный или фронтальный) будет однозначно определен, поскольку через две точки на плоскости (в данном случае этими точками будут следы прямых) можно провести прямую, и при том, только одну.

Основанием для такого построения служит свойство принадлежности прямой плоскости : если прямая принадлежит заданной плоскости, то ее следы лежат на одноименных следах этой плоскости.

Следом прямой называется точка пересечения этой прямой с плоскостью проекций.

Горизонтальный след прямой лежит в горизонтальной плоскости проекций, фронтальный – во фронтальной плоскости проекций.

Рассмотрим построение горизонтального следа прямой DB , для чего необходимо:

1. Продолжить фронтальную проекцию прямой DB до пересечения с осью X , точка пересечения М 2 является фронтальной проекцией горизонтального следа;

2. Из точки М 2 восстановить перпендикуляр (линию проекционной связи) до его пересечения с горизонтальной проекцией прямой DB М 1 и будет являться горизонтальной проекцией горизонтального следа (Рисунок 1.1), которая совпадает с самим следом М .

Аналогично выполняется построение горизонтального следа отрезка СВ прямой: точка М’ .

Чтобы построить фронтальный след отрезка CB прямой, необходимо:

1. Продолжить горизонтальную проекцию прямой CB до пересечения с осью X , точка пересечения N 1 является горизонтальной проекцией фронтального следа;

2. Из точки N 1 восстановить перпендикуляр (линию проекционной связи) до его пересечения с фронтальной проекцией прямой CB или ее продолжением. Точка пересечения N 2 и будет являться фронтальной проекцией фронтального следа, которая совпадает с самим следом N .

Соединив точки M′ 1 и M 1 отрезком прямой, получим горизонтальный след плоскости απ 1 . Точка α x пересечения απ 1 с осью X называется точкой схода следов . Для построения фронтального следа плоскости απ 2 необходимо соединить фронтальный след N 2 с точкой схода следов α x

Рисунок 1.1 — Построение следов плоскости

Алгоритм решения этой задачи может быть представлен следующим образом:

1. (D 2 B 2 ∩ OX ) = M 2 ;
2. (MM 1 ∩ D 1 B 1) = M 1 = M ;
3. (C 2 B 2 ∩ OX ) = M′ 2 ;
4. (M′ 2 M′ 1 ∩ C 1 B 1) = M′ 1 = M′ ;
5. (CВ ∩ π 2) = N 2 = N ;
6. (MM′ ) ≡ απ 1 ;
7. (α x N ) ≡ απ 2 .

1.2.2. Для решения второй части первого задания необходимо знать, что:

• расстояние от точки А до плоскости ∆BCD определяется длиной перпендикуляра, восстановленного из этой точки на плоскость;
• любая прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости ;
• на эпюре проекции прямой, перпендикулярной плоскости, перпендикулярны наклонным проекциям горизонтали и фронтали этой плоскости или одноименным следам плоскости (рис. 1.2) (см. в лекциях Теорему о перпендикуляре к плоскости).

Чтобы найти основание перпендикуляра, необходимо решить задачу на пересечение прямой (в данной задаче такой прямой является перпендикуляр к плоскости) с плоскостью:

1. Заключить перпендикуляр во вспомогательную плоскость, в качестве которой следует взять плоскость частного положения (горизонтально-проецирующую или фронтально-проецирующую, в примере в качестве вспомогательной плоскости взята горизонтально-проецирующая γ, то есть перпендикулярная к π 1 , ее горизонтальный след γ 1 совпадает с горизонтальной проекцией перпендикуляра);

2. Найти линию пересечения заданной плоскости ∆BCD со вспомогательной γ (MN на рис. 1.2);

3. Найти точку пересечения линии пересечения плоскостей MN с перпендикуляром (точка К на рис. 1.2).

4. Для определения истинной величины расстояния от точки А до заданной плоскости ∆BCD следует воспользоваться методом прямоугольного треугольника : истинная величина отрезка есть гипотенуза прямоугольного треугольника, одним катетом которого является одна из проекций отрезка, а другим – разность расстояний от его концов до плоскости проекций, в которой ведётся построение .

5. Определите видимость участков перпендикуляра методом конкурирующих точек. На примере — точки N и 3 для определения видимости на π 1 , точки 4 , 5 — для определения видимости на π 2 .

Рисунок 1.2 — Построение перпендикуляра к плоскости

Рисунок 1.3 — Пример оформления контрольного задания №1

Видеопример выполнения задания №1

1.3. Варианты задания 1

3.2. Положение точки относительно плоскостей проекций

Положение точки в пространстве относительно плоскостей проекций определяется её координатами. Координатой Х определяется удалённость точки от плоскости П 3 (проекция на П 2 или П 1), координатой У – удалённость от плоскости П 2 (проекция на П 3 или П 1), координатой Z – удаленность от плоскости П 1 (проекция на П 3 или П 2). В зависимости от значения этих координат точка может занимать в пространстве как общее, так и частное положение по отношению к плоскостям проекций (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Классификация точек

Т очка общего положения . Координаты точки общего положения не равны нулю (x ≠0, y ≠0, z ≠0 ), и в зависимости от знака координаты точка может располагаться в одном из восьми октантов (табл. 2.1).

На рис. 3.2 даны чертежи точек общего положения. Анализ их изображений позволяет сделать вывод, что они располагаются в следующих октантах пространства: А(+X;+Y; +Z( Iоктанту;B(+X;+Y;-Z( IVоктанту;C(-X;+Y; +Z( Vоктанту;D(+X;+Y; +Z( IIоктанту.

Точки частного положения . Одна из координат у точки частного положения равна нулю, поэтому проекция точки лежит на соответствующем поле проекций, другие две – на осях проекций. На рис. 3.3 такими точками являются точки А, В,C,D,G.A П 3 ,то точка Х А =0; В П 3 ,то точка Х В =0; С П 2 ,то точкаY C =0;D П 1 ,то точкаZ D =0.

Точка может принадлежать сразу двум плоскостям проекций, если она лежит на линии пересечения этих плоскостей – оси проекций. У таких точек не равна нулю только координата на этой оси. На рис. 3.3 такой точкой является точкаG(G OZ,то точка Х G =0,Y G =0).

3.3. Взаимное положение точек в пространстве

Рассмотрим три варианта взаимного расположения точек в зависимости от соотношения координат, определяющих их положение в пространстве.

На рис. 3.4 точки AиBимеют различные координаты.

Их взаимное расположение можно оценить по удаленности к плоскостям проекций: Y А >Y В, тогда точкаAрасположена дальше от плоскости П 2 и ближе к наблюдателю, чем точкаB; Z А >Z В, тогда точкаAрасположена дальше от плоскости П 1 и ближе к наблюдателю, чем точкаB; X А

На рис. 3.5 представлены точки A, B, С, D, у которых одна из координат совпадает, а две другие отличаются.

Их взаимное расположение можно оценить по удалённости к плоскостям проекций следующим образом:

Y А =Y В =Y D , то точки А, В и D равноудалены от плоскости П 2 , и их горизонтальные и профильные проекции расположены соответственно на прямых [А 1 В 1 ]llОХ и [А 3 В 3 ]llOZ. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П 2 ;

Z А =Z В =Z С, то точки А, В и С равноудалены от плоскости П 1 , и их фронтальные и профильные проекции расположены соответственно на прямых [А 2 В 2 ]llОХ и [А 3 С 3 ]llOY. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П 1 ;

X А =X C =X D , то точки А, C и D равноудалены от плоскости П 3 и их горизонтальные и фронтальные проекции расположены соответственно на прямых [А 1 C 1 ]llOY и [А 2 D 2 ]llOZ . Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П 3 .

3. Если у точек равны две одноименные координаты, то они называются конкурирующими . Конкурирующие точки расположены на одной проецирующей прямой. На рис. 3.3 даны три пары таких точек, у которых: X А =X D ; Y А =Y D ; Z D > Z А; X A =X C ; Z A =Z C ; Y C > Y A ; Y A =Y B ; Z A =Z B ; X B > X A .

Различают горизонтально конкурирующие точки А и D, расположенные на горизонтально проецирующей прямой АD, фронтально конкурирующие точки A и C, расположенные на фронтально проецирующей прямой AC, профильно конкурирующие точки A и B, расположенные на профильно проецирующей прямой AB.

Выводы по теме

1. Точка – линейный геометрический образ, одно из основных понятий начертательной геометрии. Положение точки в пространстве можно определить её координатами. Каждая из трёх проекций точки характеризуется двумя координатами, их название соответствует названиям осей, которые образуют соответствующую плоскость проекций: горизонтальная – A 1 (XA; YA); фронтальная – A 2 (XA; ZA); профильная – A 3 (YA; ZA). Трансляция координат между проекциями осуществляется с помощью линий связи. По двум проекциям можно построить проекции точки либо с помощью координат, либо графически.

3. Точка по отношению к плоскостям проекций может занимать в пространстве как общее, так и частное положение.

4. Точка общего положения – точка, не принадлежащая ни одной из плоскостей проекций, т. е. лежащая в пространстве между плоскостями проекций. Координаты точки общего положения не равны нулю (x≠0,y≠0,z≠0).

5. Точка частного положения – это точка, принадлежащая одной или двум плоскостям проекций. Одна из координат у точки частного положения равна нулю, поэтому проекция точки лежит на соответствующем поле плоскости проекций, другие две – на осях проекций.

6. Конкурирующие точки – точки, одноименные координаты которых совпадают. Существуют горизонтально конкурирующие точки, фронтально конкурирующие точки, профильно конкурирующие точки.

Ключевые слова

Координаты точки

Точка общего положения

Точка частного положения

Конкурирующие точки

Способы деятельности, необходимые для решения задач

– построение точки по заданным координатам в системе трех плоскостей проекций в пространстве;

– построение точки по заданным координатам в системе трех плоскостей проекций на комплексном чертеже.

Вопросы для самопроверки

1. Как устанавливается связь расположения координат на комплексном чертеже в системе трех плоскостей проекций П 1 П 2 П 3 с координатами проекций точек?

2. Какими координатами определяется удалённость точек до горизонтальной, фронтальной, профильной плоскостей проекций?

3. Какие координаты и проекции точки будут изменяться, если точка перемещается в направ­лении, перпендикулярном профильной плоско­сти проекций П 3 ?

4. Какие координаты и проекции точки будут изменяться, если точка перемещается в направ­лении, параллельном оси OZ?

5. Какими координатами, определяется горизонтальная (фронтальная, профильная) проекция точки?

7. В каком случае проекция точки совпадает с самой точкой пространства и где располагаются две другие проекции этой точки?

8. Может ли точка принадлежать одновременно трём плоскостям проекций и в каком случае?

9. Как называют точки, одноимённые проекции которых совпадают?

10. Каким образом можно определить, какая из двух точек ближе к наблюдателю, если их фронтальные проекции совпадают?

Задания для самостоятельного решения

2. Построить проекции точек А и В по их координатам на наглядном изображении и комплексном чертеже: А(13,5; 20), В(6,5; –20). Построить проекцию точки С, расположенной симметрично точке А относительно фронтальной плоскости проекций П 2 .

3. Построить проекции точек А, В, С по их координатам на наглядном изображении и комплексном чертеже: А(–20; 0; 0), В(–30; -20; 10), С(–10, –15, 0). Построить точку D, расположенную симметрично точке С относительно осиOХ.

Пример решения типовой задачи

Задача 1. Даны координатыX,Y,ZточекA,B,C,D,E,F(табл. 3.3)

Глава 6. ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ

§ 32. Комплексный чертеж точки

Чтобы построить изображение предмета, сначала изображают отдельные его элементы в виде простейших элементов пространства. Так, изображая геометрическое тело, следует построить его вершины, представленные точками; ребра, представленные прямыми и кривыми линиями; грани, представленные плоскостями и т.д

Правила построения изображений на чертежах в инженерной графике основываются на методе проекций. Одно изображение (проекция) геометрического тела не позволяет судить о его геометрической форме или форме простейших геометрических образов, составляющих это изображение. Таким образом, нельзя судить о положении точки в пространстве по одной ее проекции; положение ее в пространстве определяется двумя проекциями.

Рассмотрим пример построения проекции точки А, расположенной в пространстве двугранного угла (рис. 60). Одну из плоскостей проекции расположим горизонтально, назовем ее горизонтальной плоскостью проекций и обозначим буквой П 1 . Проекции элементов

пространства на ней будем обозначать с индексом 1: А 1 , а 1 , S 1 ... и называть горизонтальными проекциями (точки, прямой, плоскости).

Вторую плоскость расположим вертикально перед наблюдателем, перпендикулярно первой, назовем ее вертикальной плоскостью проекций и обозначим П 2 . Проекции элементов пространства на ней будем обозначать с индексом 2: А 2 , 2 и называть фронтальными проекциями (точки, прямой, плоскости). Линию пересечения плоскостей проекций назовем осью проекций.